Præsentation af vinderspecialet for 2022
Henriette Dyhr Rahbek, der modtog årets Specialepris, har her skrevet lidt om sit vinderspeciale.
Mit speciale har titlen "Analytical and Numerical Treatment of the Phase Retrieval Problem". Mine vejledere på specialet var Mirza Karamehmedovic fra DTU Compute og Faouzi Triki fra Laboratoire Jean Kuntzmann, Université Grenoble-Alpes, som jeg også var så heldig at besøge i tre uger under min specialeskrivning.
Faserekonstruktionsproblemet ("The Phase Retrieval Problem") indgår både i lyd- og lysbehandling og består i at rekonstruere fasen af en funktion udelukkende ud fra modulus af en lineær transformation af signalet. Eksempler på lineære transformationer er Fouriertransformationen samt wavelet-transformationen, hvor man folder signalet med en wavelet. Dette er et inverst problem, da man ønsker at rekonstruere et signal ud fra en måling med manglende data.
Hvis man måler et signal i en sensor, vil målingen være proportional til Fouriertransformationen af det oprindelige signal. Da en del sensorer ikke opfanger fasen af en funktion, kan faserekonstruktion fra modulus af Fouriertransformationen derfor være nyttigt til at genskabe det oprindelige signal. Derudover kan faserekonstruktion være nødvendigt i lydbehandling, f.eks. fjernelse af støj, hvor man bruger lineære transformationer som Fouriertransformationen og wavelet-transformationen, men undervejs i signalbehandlingen fjerner fasen og bagefter får brug for at rekonstruere den for at få et fuldt signal.
I mit speciale undersøgte jeg entydighed og stabilitet af faserekonstruktion fra modulus af Fouriertransformationen og wavelet-transformationer af et signal. For faserekonstruktion fra modulus af Fouriertransformationen af et signal findes en række velkendte entydighedsresultater. Vil man rekonstruere en funktion i funktionsrummet L2(ℝ), er man ikke sikret en entydig løsning, da man kan tilføje en bred række af reelle fasefunktioner, og den nye funktion vil løse det samme problem. Vil man i stedet rekonstruere en funktion med kompakt støtte (dvs. at funktionen er nul uden for et begrænset interval af den reelle akse), vil man vha. skalering, translation, spejling samt "zero-flipping" kunne opnå flere mulige løsninger til problemet. Tilsvarende kan man vise, at det ikke er muligt at få et entydigt resultat, hvis man vil rekonstruere funktioner, der er 0 på den negative halvakse, da den holomorfe udvidelse af Fouriertransformationen af funktionen, kan have forskellige nulpunkter i den øvre komplekse halvplan.
I stedet kan man betragte faserekonstruktion fra modulus af wavelet-transformationen. Her har Mallat & Waldspurger i artiklen "Phase Retrieval for the Cauchy Wavelet Transform" (2015) opnået et entydighedsbevis ved at bruge Cauchy wavelets. For denne specifikke type af wavelets kan man vise, at wavelet-transformationen af et signal svarer til at evaluere en H2(ℂ)-funktion på en vandret linje i den øvre komplekse halvplan. Disse funktioner hedder Hardy-funktioner og har mange egenskaber, heriblandt at de kan faktoriseres til bestanddele, der beskriver funktionens nulpunkter, singulariteter og opførsel på randen. Dette bruges til at vise entydighed ved at vise, at hvis to holomorfe funktioner i den øvre komplekse halvplan er ens i modulus på en vandret linje samt i grænsen på den reelle linje, vil de to funktioner maksimalt variere med en global faseforskydning. Dette resultat medfører at en holomorf eller reel funktion i L2(ℝ) er entydigt bestemt op til en global fase, hvis blot wavelet-transformationen af funktionen for to forskellige Cauchy-wavelets er kendt. Som en del af specialet lykkedes det at udvide klassen af signaler, som denne entydighed gælder for. Det er nemlig muligt at vise, at det samme entydighedsresultat gælder for kompakt støttede distributioner af orden N.
Endelig har jeg undersøgt stabilitet af faserekonstruktion fra modulus af wavelet-transformationen. Her ses det, at stabilitet af problemet afhænger af variationen i wavelet-koefficienterne, og derfor at stabilitet afhænger af hvilke wavelets bliver brugt til rekonstruktionen, samt hvilken type af signaler, man forsøger at rekonstruere.