Du er her: DMF Blog Punkt

Hartree–Fock approksimationen og aspekter af operatorteori

Mikkel Hviid Thorn fortæller om sit speciale, der vandt Specialeprisen 2025.

Introduktion

Når fysiske systemer vokser i størrelse, så vokser kompleksiteten af systemerne ligeså. Derfor kan det være nødvendigt at arbejde med effektive modeller i stedet, som f.eks. hvis man arbejder med elektronskyer eller homogene gasser.

I min afhandling studerede min vejleder og jeg Hartree–Fock approksimationen for magnetiske fermioniske gasser. Fermioner er elementarpartikler med halvtalligt spin og dækker over partikler som f.eks. elektroner, protoner, og neutroner, og en magnetisk fermionisk gas er et system af ensartede fermioner påvirket af et magnetfelt. Hartree–Fock approksimation går ud på, at man ikke regner på hele gassen, men i stedet isolerer en enkelt fermion og approksimerer gassen som et effektivt selvkonsistent potentiale på fermionen.

Hartree–Fock

Hartree–Fock går som sagt ikke ud på at studere mangelegeme systemet direkte, men i stedet et ét legeme system. Det ét legeme system påvirkes af en gassen i sin helhed, men påvirker også selv gassen, og dermed skal det effektive potentiale være selvkonsistent, altså: påvirkningen af gassen på vores ene partikel afhænger i sig selv af den ene partikel. Dette formulerer vi som følgende: ligningen

$$\rho=f(H[\rho])$$

beskriver at tilstanden $\rho$ af den ene partikel er lig med en statistisk beskrivelse af energiniveauerne i gassen $f$ anvendt på Schrödinger operatoren, “energi operatoren”, $H[\rho]$, der selv afhænger af tilstanden af den ene partikel. Schrödinger operatoren er givet ved følgende:

$$H[\rho]=H_b+\lambda W[\rho]$$

hvor $H_b$ er den kinetiske energi i magnetfeltet $b$, $W[\rho]$ er potentialet fra gassen, og $\lambda$ er styrken på vekselvirkningen mellem partiklerne.

Under visse antagelser kan ovenstående reduceres til følgende: find en funktion $F$ således at

$$F(x)=f(H_F)(x,0)$$

hvor

$$H_F=H_b+\lambda W_F.$$

Før vi kan gå i gang med at løse fikspunktsligningen for $F$, så skal vi sikre os at diverse objekter eksisterer og er til at arbejde med.

Spektralteori og funktional kalkyle

I ligningen for $F$ anvendes en funktion $f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ på en operator $H_F$. Sådan et udtryk kan man give mening til gennem spektralteori!

For en operator $A$ på et Hilbertrum er dens spektrum $\sigma(A)$ givet ved komplementet af

$$\{z\in\mathbb{C}\mid A-z\text{ er inverterbar og }(A-z)^{-1}\text{ er begrænset}\}$$

Spektrummet har en fysisk betydning, hvor spektrummet for f.eks. Schrödinger operatoren $H_b$ giver alle de tilladte kinetiske energier for vores partikel. For selvadjungerede operatorer $A$ er spektrummet en delmængde af de reelle tal og der findes et mål $E_\lambda$ med værdimængde i projektionerne i Hilbertrummet således at

$$A=\int_{\mathbb{R}} \lambda\, \mathrm{d}E_\lambda.$$

Dette er blot en diagonalisering via spektralsætningen. Ved brug a diagonaliseringen kan vi definere $f(A)$ som følgende

$$f(A)=\int_{\mathbb{R}} f(\lambda)\, \mathrm{d}E_\lambda,$$

dog selvfølgelig kun når ovenstående integral konvergerer.

Det giver et tilfredsstillende teoretisk udtryk for $f(A)$, men i praksis, og for funktioner $f$ der opfører sig særdeles pænt, kan man anvende Cauchy–Dynkin–Green–Helffer–Sjöstrand formlen (Helffer–Sjöstrand formlen i det følgende):

$$f(A)=-\frac{1}{\pi}\int_{\mathbb{C}}\overline{\partial_z}\tilde{f}(z)(A-z)^{-1}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

Her udtrykker vi $f(A)$ ved hjælp af en næsten-holomorf udvidelse af $f$, $\tilde{f}$, og resolventen $(A-z)^{-1}$. Integranden er lige nøjagtig singulær der hvor $(A-z)^{-1}$ ikke eksisterer eller er en ubegrænset operator, altså hvor $A$ har sit spektrum, altså hvor målet $E_\lambda$ har sin støtte.

Denne formel vil vi benytte flittigt i det følgende for at udtrykke $f(H_F)$.

Magnetisk pseudo-differential kalkyle

I Helffer–Sjöstrand formlen indgår resolventen $(H_F-z)^{-1}$ og den skal vi derfor have styr på. Selve $H_F$ er ikke bare en partial differential operator, men potentialet $W_F$ indeholder en singulær integralkerne. Derfor har vi brug for den magnetiske pseudo-differentiale kalkyle, som kan håndtere både partial differential operatorer og singulære integralkerner.

En magnetisk pseudo-differential operator i $d$ dimensioner anvendt på funktionen $\varphi$ er givet ved

$$\mathrm{Op}^{A}(\Psi)\varphi(x)=\frac{1}{(2\pi)^d}\int_{\mathbb{R}^d}\int_{\mathbb{R}^d}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\xi\cdot(x-y)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}b\phi(x,y)}\Psi(\xi)\varphi(y)\,\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi$$

hvor $\Psi$ kaldes symbolet af operatoren $\mathrm{Op}^{A}(\Psi)$. Styrken ved denne kalkyle er, at mange egenskaber og regneoperationer for $\mathrm{Op}^A(\Psi)$ kan afgøres ved hjælp af symbolet $\Psi$.

For operatoren $H_F$ har vi

$$H_F=H_b+\lambda W_F=\mathrm{Op}^A(\xi^2+\lambda w_F(\xi))$$

hvor symbolet for $H_b$ er et andengradspolynomium $\xi^2$ og symbolet for $W_F$ er en begrænset og glat funktion $w_F$. Her “dominerer” symbolet for $H_b$ og man kan finde frem til at resolventen for $H_b$, og derfor også resolventen for $H_F$, vil have et glat symbol, som opfører sig som $O(|\xi|^{-2})$ i et nabolag af uendelig. Så symbolet af resolventen for $H_F$ opfører sig altså pænt. Det vil vi bruge senere når vi vender tilbage til Helffer–Sjöstrand formlen.

Løsning af fikspunktsligningen

Lad os igen kikke på fikspunktsligningen

$$F(x)=f(H_F)(x,0)$$

hvor

$$H_F=H_b+\lambda W_F.$$

Vi har fundet frem til at

$$f(H_F)=-\frac{1}{\pi}\int_{\mathbb{C}} \overline{\partial_z}\tilde{f}(z)(H_F-z)^{-1}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

hvor $(H_F-z)^{-1}$ er en magnetisk pseudo-differential operator med pænt symbol. Ved nogle tricks kan man yderligere bevise, at $f(H_F)$ er en magnetisk pseudo-differential operator, der, grundet det pæne symbol af $(H_F-z)^{-1}$, har et glat symbol, som opfører sig som $O(|\xi|^{-\infty})$ i et nabolag af uendelig. Det medfører at $f(H_F)$ har en pæn integralkerne, som blandt andet er glat.

Lad os nu kalde $f(H_F)(x,0)$ for $\Phi(F)(x)$. Vi vil finde $F$ således at $F(x)=\Phi(F)(x)$. Med alle ingredienserne ovenfra, behøver vi kun at bruge en fikspunktssætning for at vise eksistensen af et sådant $F$. Her vil vi anvende Banachs fikspunktssætning, og vi skal derfor have kontrol over afbildningen $F\mapsto \Phi(F)$. Det vil vi gøre ved at bevise at

$$\Vert\Phi(F)\Vert\lesssim|\lambda|\Vert F\Vert$$

og

$$\Vert\Phi(F)-\Phi(G)\Vert\lesssim|\lambda|\Vert F-G\Vert$$

for en vis klasse funktioner $F,G$. De følger begge ved brug af specielt et trick: ved brug af den anden resolvent identitet har vi

$$(H_F-z)^{-1}-(H_G-z)^{-1}=(H_F-z)^{-1}(H_G-H_F)(H_G-z)^{-1}$$

hvor $H_G-H_F=\lambda\mathrm{Op}^A(w_{G-F}(\xi))$. Altså i stedet for forskellen i resolventer har vi noget som afhænger hovedsageligt af forskellen mellem funktionerne $F$ og $G$.

Fra ulighederne og med en lille nok $\lambda$, kan man anvende Banachs fikspunktssætning til at finde $F^*$ som opfylder $F^*=\Phi(F^*)$, og vi har dermed et $F^*$, som burde kunne beskrive en fermion i en magnetisk fermionisk gas!

Yderligere deltaljer kan findes i de følgende to artikler som baserer sig på dele af specialet:

Revideret 07.04.2026
-
Lars Madsen