Nyt fra gruppe-teoriens verden

Det er ofte tilfældet, at de nyeste resultater indenfor en given matematisk forskningsretning er så tekniske, at det kræver en høj grad af specialisering for blot at kunne forstå resultaterne. For nyligt skete der imidlertid et stort gennembrud indenfor gruppeteori, som kan forstås af alle med et basalt kendskab til algebra, og jeg synes derfor at dette resultat egner sig godt til bloggen. Resultatet omhandler en af de såkaldte Kaplansky-formodninger, og tilhører Giles Gardam fra universitetet i Münster. Lad os først beskrive selve formodningen, som måske retteligt burde kaldes et problem, da det er tvivlsomt at Irving Kaplansky (1917–2006) faktisk selv troede at det var sandt.

Lad $G$ være en gruppe om hvilket vi i første omgang ikke antager noget som helst. Senere vil vi dog indføre yderligere antagelser om $G$, som blandt andet vil medføre at $G$ er uendelig, så man kan passende have sit favorit-eksempel på en uendelig gruppe i baghovedet. Lad også $\mathbb{K}$ være et legeme, for eksempel legemet $\mathbb{Z}_2$ med 2 elementer eller de reelle tal $\mathbb{R}$. Man kan da altid repræsentere $G$ injektivt på et passende $\mathbb{K}$-vektorrum $V$ (man kan for eksempel vælge $V$ som rummet af alle funktioner fra $G$ til $\mathbb{K}$ og lade $G$ virke ved translation i variablen) og dermed tænke på $G$ som en undergruppe i gruppen $\mathrm{GL}(V)$ bestående af invertible lineære afbildninger fra $V$ til $V$. Gruppen $\mathrm{GL}(V)$ er jo en delmængde af $\mathbb{K}$-vektorrummet $\mathrm{End}(V)$ bestående af lineære afbildninger fra $V$ til sig selv, og man definerer nu gruppe-algebraen $\mathbb{K}[G]$ som spannet af alle elementerne fra $G$. Per konstruktion er $\mathbb{K}[G]$ dermed et underrum i $\mathrm{End}(V)$, og består altså af linear-kombinationer af formen

\begin{equation*} r_1\cdot g_1 + \cdots + r_n\cdot g_n \end{equation*}

hvor $r_1,\dots, r_n\in \mathbb{K}$ og $g_1,\dots, g_n\in G$. Men $\text{End}(V)$ er jo ydermere en ring, hvis multiplikation er givet ved funktionssammensætning, og $\mathbb{K}[G]$ bliver en delring da

\begin{equation*} (r_1\cdot g_1 + \cdots + r_n\cdot g_n) (s_1\cdot h_1 + \cdots + s_m\cdot h_m) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (r_is_j)\cdot g_ih_j \end{equation*}

Kaplansky opstillede tilbage i første halvdel af 1900-tallet følgende tre formodninger om $\mathbb{K}[G]$.

Kaplanskys formodninger

Dersom $G$ er torsionsfri (dvs. alle elementer, bortset fra det neutrale, har uendelig orden) da er følgende sandt:

1. De eneste invertible elementer i $\mathbb{K}[G]$ er de indlysende; altså dem på formen $r\cdot g$ for et $r\in \mathbb{K}\setminus \{0\}$ og et $g\in G$. Denne formodning kaldes enheds-formodningen.
2. Nulreglen gælder i $\mathbb{K}[G]$; dvs. at hvis $x\cdot y=0$ så må $x=0$ eller $y=0$. Denne kaldes nuldivisor-formodningen.
3. I $\mathbb{K}[G]$ opfyldes relationen $x^2=x$ kun af elementerne $0$ og det neutrale element $e\in G$. Dette kaldes idempotent-formodningen.

Rækkefølgen af disse tre formodninger er ikke tilfældigt valgt, idet man kan vise at enheds-formodningen medfører nuldivisor-formodningen som medfører idempotent-formodningen. Det er i øvrigt en let algebra-øvelse at indse at antagelsen om at $G$ skal være torsions-fri er absolut nødvendig. Læseren kan for eksempel let tjekke at hvis $g\in G$ er et ikke-trivielt element af orden $2$, da opfylder $x=\frac12 e + \frac12 g$ at $x^2=x$. Den ambitiøse læser kan ydermere muntre sig med at definere en idempotent, altså et element $x$ som opfylder $x^2=x$, ud fra et element af generel endelig orden $n$.

Mange matematikere har arbejdet på disse besnærende simple formodninger, og en mængde postive delresultater er opnået gennem de sidste cirka 70 år, men ingen af formodningerne er blevet endegyldigt afklaret. Dette ændrede sig dog dramatisk i 2021, hvor Giles Gardam publicerede et preprint hvori han viste at enheds-formodningen er forkert når $\mathbb{K}$ er legemet $\mathbb{Z}_2$ med 2 elementer! Gardams artikel udmærker sig ydermere ved kun at være på 12 sider. Men hvordan tackler man et sådan problem? Strategien bag beviset er at lade en computer søge efter enheder i $\mathbb{Z}_2[G]$ for en ganske konkret gruppe $G$ som, i en hvis forstand, er en af de første naturlige kandidater til et modeksempel. Gardams dybe indsigt var hvordan man skulle lave en kvalificeret søgning, og pludseligt spyttede computeren en ikke-trivel enhed ud! Og det var endda så heldigt at modeksemplet er en linear-kombination af blot 21 gruppe-elementer således at et menneske kan verificere løsningen ved simpelthen at gange de to elementer sammen og se at det giver 1. Gardams artikel, der i øvrigt nu er publiceret i Annals of Mathematics, kan læses her https://arxiv.org/pdf/2102.11818v4.pdf, og Quanta Magazine har også taget emnet op i en glimrende populærvidenskabelig artikel https://www.quantamagazine.org/mathematician-disproves-group-algebra-unit-conjecture-20210412/.