Lidt om at dele pebernødder

Som lovet ved bloggens start, ville der komme indhold, der var matematikrelateret. De sidste to (som jo også er de første to) indlæg har været ren "ananas i egen juice", så i dag prøver vi med en smule matematik. Som allerede nævnt, så kommer alle indlæg til at afspejle den siddende redaktørs matematiske præferencer, og dette indlæg kommer da også til at handle om min egen kæphest, nemlig talteori. Og så kom der lige en nyhed, jeg ville dele her på bloggen.

I denne søde juletid sidder mange jo med en ordentlig bunke pebernødder, og normalt skal de jo deles med andre. Det er dog sjældent til at sige, hvor mange gæster der dukker op, ligesom det er noget uforudsigeligt hvor mange pebernødder, de egentlig kan sætte til livs. Lad os kigge lidt på, hvor mange forskellige pebernødde-scenarier, der faktisk kan forekomme.

Hvis vi nu har bagt $n$ pebernødder, hvor $n$ er et naturligt tal, så leder vi altså efter antallet af måder, hvorpå $n$ pebernødder kan deles mellem et uspecificeret antal gæster (de tager mindst én hver, for vi har kun høflige gæster). Med andre ord leder vi efter antallet af måder, hvorpå vi kan skrive $n$ som en sum $n = m_1 + m_2 + \cdots + m_k$, hvor $k$ er et eller andet naturligt tal. Dette kalder vi antallet af partitioner af $n$, normalt med notationen $p(n)$.

At kende antallet af partitioner af et naturligt tal er nyttigt i mange matematiske sammenhænge. Ofte er der flere betingelser, der skal være opfyldt. For eksempel antallet af dele, vi skal partitionere i (altså på $k$) eller en speciel struktur på de enkelte dele (altså på $m_k$'erne). Men lige nu kigger vi bare på partitionsfunktionen $p(n)$ helt rent. Hvis vi husker, at den geometriske række er $\sum_{k=0}^\infty t^k = \frac{1}{1-t}$ for $\vert t \vert < 1$, så finder vi let en genererende funktion for partitionsfunktionen ved

\[ \sum_{n=1}^{\infty} p(n) z^{n} = \prod_{k=1}^\infty \frac{1}{1-z^k}. \]

Bare brug, at hver faktor i produktet på højresiden er en geometrisk række, og gang det hele ud uden at bekymre dig om konvergens. Samler vi leddene, hvor eksponenten til $z$ er ens, kommer ovenstående formelle identitet frem.

Bruger man dette udsagn tilstrækkeligt kløgtigt, så finder man ud at, hvor hurtigt partitionsfunktionen vokser. Det gjorde G. H. Hardy og S. Ramanujan tilbage i 1918, hvor de viste, at \[ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{p(n)}{\frac{1}{4n\sqrt{3}} \exp\left(\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}\right)} = 1. \]

Dette udsagn fortæller os naturligvis intet om, hvordan antallet af partitioner opfører sig en konkret bunke pebernødder. Imidlertid ved vi også noget om den slags, ikke mindst takket være Ramanujan. Ramanujan viste, at hvis $n$ er kongruent med $4$ modulo $5$ (altså efterlader en rest på $4$ efter heltalsdivision med $5$), så er antallet af partitioner af $n$ divisibelt med $5$. Tilsvarende, hvis $n$ er kongruent med $5$ modulo $7$, så er antallet af partitioner af $n$ divisibelt med $7$, og hvis $n$ er kongruent med $6$ modulo $11$, er $p(n)$ divisibel med $11$.

Ramanujan var aktiv for omkring 100 år siden, så det ville være besynderligt, hvis der ikke var sket mere siden. Det er der også, og vi har vidst de sidste ca. 20 år, at der er tilsvarende kongruenser modulo ethvert ulige primtal samt modulo ethvert naturligt tal, der ikke er divisibelt med $2$ eller $3$. Det har imidlertid været formodet, at hvorvidt $p(n)$ er lige eller ulige er helt og aldeles tilfældigt. Altså, der er ikke nogen struktur på $p(n)$ modulo $2$. Men så for et par dage siden lagde matematikeren Ken Ono et preprint på arXiv (https://arxiv.org/abs/2212.06935), hvor han viser, at der er uendeligt mange kongruenser modulo $4$, der skal være opfyldt for $p(n)$.

Beviset bruger selvklart ret avancerede metoder, der ikke er helt velegnede til at gengive her. Modulære former spiller blandt andet en kritisk rolle. Der er også stadig tale om et preprint, så det er ikke blevet grundigt fagfællebedømt endnu.

På sin Facebook-profil skriver Ono selv, at han skrev artiklen på en længere flyvetur. Vi skal selvfølgelig passe på klimaet, men personligt mener jeg, at Ono gerne må tage en flyvetur i ny og næ.

God jul fra Dansk Matematisk Forening! Brug endelig tiden på at lege lidt med partitioner af pebernødder! Og skriv gerne til mig på sik@math.au.dk med kommentarer på dette indlæg. Specielt ville jeg være glad for kommentarer om indhold og matematisk niveau. Vi er jo stadig i færd med at kalibrere denne blog.

Simon Kristensen