En ikke-lokal tilgang til fysisk modellering

Introduktion

Den klassiske mekanik har længe dannet grundlaget for modellering af fysiske fænomener, men nyere fremskridt har introduceret et nyt paradigme kendt som ikke-lokal modellering. Denne tilgang er særlig nyttig til at beskrive systemer, hvor interaktioner forekommer over afstande, snarere end blot ved direkte kontakt. Ikke-lokal modellering har et utal af lovende anvendelser inden for blandt andet simulering af materialebrud, emulsioner, trafik, og menneskemængder, men også inden for billedbehandling og nanoteknologi. I min afhandling undersøger jeg den matematiske teori bag den ikke-lokale model kaldet peridynamik, som reformulerer den klassiske mekanik ved at tage højde for såkaldte ikke-lokale interaktioner.

Diffusions- og variationsprincipper

Af særlig interesse i afhandlingen er udvidelsen af peridynamisk teori til diffusionsprincipper, specifikt deres ligevægtstilstande. Klassisk beskrives energioverførsel ved diffusion, som for eksempel varmeudbredelse i et legeme, af en partiel differentialligning. Hvis $u$ angiver temperaturfordelingen i et legeme $\Omega$ ved ligevægt, så påskriver Fouriers lov, at varmefluksen $ q $ er lig med produktet af den termiske ledningsevne $ \kappa $ og den negative temperaturgradient \begin{equation*} q = -\kappa \nabla u. \end{equation*} På grund af energibevarelse er varmefluksens divergens lig den varmekilde $ f $, der påvirker legemet. Temperaturfordelingen opfylder derfor Poissons ligning \begin{equation*} -\mathrm{div} (\kappa \nabla u) = f. \end{equation*} Ækvivalent siger Dirichlets princip, at løsningen på Poissons ligning, og dermed temperaturfordelingen, minimerer den potentielle energi, og derfor findes som løsning til optimeringsproblemet givet ved \begin{equation*} \min_{u} I(u) = \frac{1}{2}\int_{\Omega} \kappa |\nabla u|^2 \, \mathrm{d}x - \int_{\Omega} f u \, \mathrm{d}x. \end{equation*} Dirichlets princip er navngivet af Riemann, som anvendte det til at studere holomorfe funktioner, idet han antog, at den potentielle energi opnår sit minimum. Weierstrass kritiserede denne antagelse i 1870 ved at vise, at selvom den største nedre grænse eksisterer, så er det ikke i alle tilfælde givet at der findes en funktion som opnår den. Dette førte til udviklinger inden for variationsregning, og i 1900-tallet retfærdiggjorde Hilbert og Tonelli brugen af Dirichlets princip ved at udvikle variationsregningens direkte metode. I situationer, hvor varmefluksen er af større interesse, kan man ækvivalent anvende Kelvins princip, som foreskriver, at varmefluksen minimerer den komplementære energi. Derved løser den optimeringsproblemet givet ved \begin{equation*} \min_{-\mathrm{div}q=f} J(q) = \frac{1}{2}\int_{\Omega} \kappa^{-1} |q|^2 \, \mathrm{d}x. \end{equation*} Det er af matematisk interesse at bemærke, at Kelvins princip kan formuleres som det duale optimeringsproblem til Dirichlets princip.

Ikke-lokale udvidelser af lokale principper

I specialet udvikles ikke-lokale analoger til de klassiske (lokale) gradient- og divergensoperatorer med henblik på at formulere ikke-lokale versioner af Dirichlets og Kelvins principper. Inden for peridynamikkens rammer introduceres ikke-lokale interaktioner som bindinger mellem materialepunkter. De ikke-lokale bindinger parametriseres ved en ikke-lokal kerne $\omega_\delta$, som måler bindingsstyrken mellem punktpar inden for en $\delta$-afstand af hinanden. Derfor er det nødvendigt at betragte en $\delta$-udvidelse af legemet, hvilket vi angiver $\Omega_\delta$. Ved hjælp af disse begreber kan man for et punktpar $(x, x') \in \Omega_\delta \times \Omega_\delta$ definere den ikke-lokale gradient af temperaturfordelingen $u$ ved formlen \begin{equation*} \mathcal{G}_\delta u(x,x') = \left(u(x)-u(x')\right)\omega_\delta(|x-x'|). \end{equation*} Den ikke-lokale version af Dirichlets princip kan da formuleres ved problemet \begin{equation*} \min_{u} I_\delta(u) = \frac{1}{2}\int_{\Omega_\delta}\int_{\Omega_\delta} \kappa |\mathcal{G}_\delta u|^2 \, \mathrm{d}x'\mathrm{d}x - \int_{\Omega} f u \, \mathrm{d}x. \end{equation*} Optimeringsproblemet viser sig, ved brug af variationsregningens direkte metode, at være velstillet, hvilket garanterer eksistensen entydigt bestemte ikke-lokale temperaturfordelinger. Med inspiration fra Fouriers lov defineres de tilsvarende ikke-lokale varmefluksfordelinger som \begin{equation*} q = -\kappa\mathcal{G}_\delta u, \end{equation*} der per definition nu er asymmetriske funktioner, som afhænger af to materialepunkter. Hvis man yderligere lader sig inspirere af den lokale teori, kan divergensoperatoren defineres som den negative adjungerede operator til gradienten. Herved opnår man for et materialepunkt $x \in \Omega$, følgende formel for den ikke-lokale divergens af en ikke-lokal varmefluks \begin{equation*} \mathcal{D}_\delta q(x) = \int_{\Omega_\delta} (q(x',x)-q(x,x'))\omega_\delta(x-x')\,\mathrm{d}x'. \end{equation*} Bemærk, at formlen summerer varmefluksens bidrag ind og ud af materialepunktet, i overensstemmelse med vores fysiske forståelse af divergensen som nettoændringen i varmefluksen. Ydermere kan det nu forsvares, at den ikke-lokale temperaturfordeling opfylder den ikke-lokale version af Poissons ligning \begin{equation*} -\mathcal{D}_\delta(\kappa \mathcal{G}_\delta u) = f. \end{equation*} Ligesom før opstilles den ikke-lokale version af Kelvins princip ved optimeringsproblemet \begin{equation*} \min_{-\mathcal{D}_\delta q=f} J_\delta(q) = \frac{1}{2}\int_{\Omega_\delta}\int_{\Omega_\delta} \kappa^{-1} |q|^2 \, \mathrm{d}x. \end{equation*} Igen kan den lokale teori genanvendes, og det vises ved hjælp af dualitetsprincipper, at de ikke-lokale principper er hinandens duale, og at stærk dualitet gælder.

Regularitet og modelleringsfleksibilitet

Modsat de lokale principper, der defineres ved hjælp af afledte, defineres deres ikke-lokale versioner udelukkende ved integraler. Dette letter i udgangspunktet regularitetskravene for de opnåelige temperaturfordelinger og deres varmefluksfordelinger. Som følge heraf kan ikke-lokale modeller beskrive diffusionsfænomener, der opstår i medier med diskontinuiteter eller andre kompleksiteter, hvor de lokale modeller kan fejle. Dette gælder eksempelvis for forhindringsproblemer, hvor diffusion begrænses af barrierer eller forhindringer. Disse problemer er særligt udfordrende for klassiske modeller på grund af behovet for ekstra regulariseringsteknikker. Den ikke-lokale tilgang kan derimod nemt håndtere diskontinuiteter, hvilket gør den til et nyttigt værktøj.

Ikke-lokal til lokal konvergens

Slutteligt er det værd at bemærke, at ikke-lokale modeller kan indgå i analysen af klassiske lokale problemer. I tilfælde, hvor det klassiske problem er lokalt uløseligt – det vil sige, at det ikke er muligt at finde en løsning under traditionelle antagelser – kan det derimod være muligt, at den ikke-lokale analog har løsninger. Ved at løse den ikke-lokale analog og udnytte den bemærkelsesværdige egenskab, at ikke-lokale løsninger kan konvergere mod lokale løsninger, når $\delta \searrow 0$, er det værd at betragte de ikke-lokale løsninger som tilnærmelser til selv ikke-eksisterende lokale løsninger.