En forsinket nytårshilsen – med kanonkugler!

Så blev vi alle ramt af et nyt år og dermed – for en stor del af foreningens medlemmer – også af endnu en eksamensperiode. Nærværende formand er ingen undtagelse fra sidstnævnte, og da der i tilgift faldt en del sne i det østjyske, blev denne nytårshilsen en smule forsinket. Den er dog stadig velment!

Som talteoretiker er jeg altid interesseret i, om der nu skulle være noget specielt ved tal, der helt naturligt dukker op i mit liv. Ikke fordi der er noget magisk ved det – det er bare en erhvervsskade - og der er jo alligevel ikke nogen uinteressante naturlige tal derude!

Det sidste udsagn vender vi tilbage til. Lige nu skal vi tale om 2024. Og om kanonkugler! 2024 er et tetrahedralt tal. Og hvad er nu det for en fisk? Her skal vi bruge kanonkuglerne.

Forestil dig, at du er en glad lille pirat på de syv verdenshave. Som enhver anden pirat har du kanoner på dit skib. Kanonkuglerne ligger i fine bunker, hvor hver base er en trekant, så der ligger n kanonkugler lands en side, n−1 kanonkugler i næste række og så videre, til der kun er en enkelt kanonkugle i den n'te række. Nu lægger vi en kanonkugle i hver fordybning, der er opstået i første lag og så fremdeles. Slutter festen med en enkelt kanonkugle på toppen, er antallet af kanonkugler et tetrahedralt tal. Og bunken danner et tetraeder.

For 2024 er baselængden 22. Vi kommer næppe til at opleve et tetrahedralt år igen, for det næste i rækken er 2300.

Man kunne selvfølgelig have valgt at starte med et kvadrat i stedet for en trekant. Så ville man ikke opnå tetrahedrale tal, men derimod pyramidiske tal. Dem har der været stillet sjove spørgsmål om. Lucas’ kanonkugleproblem spurgte, hvor mange kanonkugler man kunne have, hvis antallet var pyramidisk og samtidig et kvadrattal. Det viser sig, at svaret er enten 1 eller 4900. For tetrahedrale tal er svaret noget mere nedslående, for her er det eneste kvadrattal 1. Dette er faktisk et relativt nyligt resultat fra 1988.

Nåja, jeg lovede at vende tilbage til udsagnet “Alle naturlige tal er interessante”. Det følger af induktionsprincippet. Eller mere præcist af velordnethed af de naturlige tal, men det er jo ækvivalent. Antag at mængden af uinteressante tal er ikke-tom. Så har den et mindste element, der jo så er det første uinteressante tal. Men hey, det er da en interessant egenskab.

Godt tetrahedralt nytår.