Michel Talagrand modtager Abelprisen 2024

Abelprisen, der direkte modelleres efter Nobelpriserne, blev annonceret den 20. marts 2024 og tildeles Michel Talagrand for hans “banebrydende bidrag til sandsynlighedsteori og funktionel analyse, med fremragende anvendelser inden for matematisk fysik og statistik”. Efter at have modtaget prisen udtalte Talagrand: “Hvis jeg havde fået at vide, at et rumskib fra en anden planet var landet foran Det Hvide Hus, ville jeg ikke have været mere overrasket.” Dette niveau af overraskelse er dog på ingen måde til stede blandt Talagrands akademiske kolleger.

Talagrand har i høj grad bidraget til vores forståelse af graden af forudsigelighed i tilfældige systemer. Han er en af grundlæggerne af højdimensionel sandsynlighedsteori, der kendetegnes ved mange interagerende stokastiske variable eller højdimensionelle udfaldsrum, og han har betydeligt bidraget til vores forståelse af disse problemer. Hans resultater har fundamental betydning inden for mange områder af moderne litteratur, herunder stokastiske matricer, stokastiske grafer, højdimensionel statistik, geometrisk funktionalanalyse og statistisk fysik, herunder Gibbs-mål, percolation og spin glasses.

Kontraintuitivt sker det ofte at mange forskellige kilder til tilfældighed ender med at kompenserer for hinanden og producerer mere forudsigelige resultater. Lad os f.eks. betragte en stokastisk variabel på formen

\[ Z = f(X_1,X_2,\dots,X_n) \]

hvor \(X_1,X_2,\dots,X_n\) er stokastiske variable med svag afhængighed. Hvis vi f.eks. betragter funktionen \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}\), der angiver gennemsnittet af variablene og lader \(X_1,X_2,\dots,X_n\) være uafhængige og identisk fordelte stokastiske variable, viser De Store Tal Lov, at \(Z=Z_n\) konvergerer mod middelværdien af \(X_1\) (=\(E[Z]\)) når \(n\) går mod uendelig. Specifikt har vi, at \(Z\) er tilnærmelsesvis lig med \(E[Z]\) med stor sandsynlighed, og derfor bliver \(Z\) mere og mere forudsigelig, selvom den afhænger af flere og flere variable. Dette fænomen kaldes koncentration af mål og opstår i mange vigtige situationer, også for mange ikke-lineære funktioner \(f\).

Den essentielle struktur er, at funktionen \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\) ikke må være for følsom over for ændringer i koordinaterne \(x_i\). Klassiske resultater som den Gaussiske Poincaré ulighed fortæller os, at hvis gradienten af \(f\) er lille, \(\nabla f \approx 0\), så vil \(Z\) være tæt på sin middelværdi og derfor have en lille stokastisk fluktuation. I stedet for at måle følsomheden i form af en gradient, introducerede Talagrand et metrisk synspunkt, der ført til nye metoder til at bevise koncentration af mål som ikke naturligt kan beskrives i form af gradienter. Denne tilgang byggede på en ny type isoperimetrisk ulighed (kugler er de legemer i \(\mathbb{R}^n\) med mindste overfladeareal). Talagrands ulighed giver f.eks. en uniform koncentration af empiriske processer med en optimal rate – et resultat som er helt fundamental indenfor empirisk risikominimering i statistik.

Koncentration af mål resultater giver udsagn om, hvor tæt stokastiske variable er på deres middelværdi, men ikke om, hvad middelværdien er. Bestemmelse af middelværdien af \(Z\), \(E[Z]\), for generelle funktioner \(f\) er langt uden for rækkevidde, men da maksimumfunktioner spiller en afgørende rolle i mange problemstillinger, har fokus primært været på denne situation. Her er man interesseret i at estimere \(E[\max_{t\in T} X_t]\). I det vigtige tilfælde, hvor \(X_t\), \(t\in T\) er en Gaussisk stokastiske proces, er \(E[Z]\) entydigt bestemt ud fra det metriske rum \((T,d)\), hvor metrikken \(d(t,d)=\mathrm{Cov}(X_t,X_s)\) angiver kovariansen mellem \(X_t\) og \(X_s\). Talagrand var den første til at forstå hvordan kompleksiteten af det metriske rum \((T,d)\) påvirker \(E[Z]\). Mere præcist viste Talagrand at hans \(\gamma(T,d)\) funktionel, der beskriver hvor godt \((T,d)\) kan overdækkes af mængder med små diameter giver en øvre og nedre grænse for middelværdien af \(Z\) og derfor fuldstændigt karakteriserer dette fundamentale spørgsmål, som folk har arbejde på over en lang årrække.

I de senere år skiftede Talagrand fokus fra abstrakt sandsynlighedsteori til spin glass-modeller i statistisk fysik, som er defineret ud fra en stokastisk Hamiltonian. Den hellige gral i dette felt var en variationel formel for den termodynamiske grænse for den frie energi i Sherrington-Kirkpatrick modellen forudsagt af G. Parisi. Parisis formel byggede på hans (ikke-matematisk funderede) replica-metode der i 2021 gav ham Nobelprisen i fysik. Efter mange års intensivt arbejde lykkedes det Talagrand matematisk at verificere Parisi’s formel i 2006. Dette resulterede i et solidt fundament for dette felt, og det markerede et afgørende øjeblik i forskningsfeltet.

Udover at levere fundamentale nye resultater besidder Talagrand en enestående evne til at præsentere komplekse koncepter på en klar og forståelig måde. Efter min mening er det yderst velfortjent, at hans arbejde bliver anerkendt med den store præstige, som Abelprisen repræsenterer.